ggT Aussage mit c|a_i < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] ggT(a_1/c,...a_n/c)=1/|c|*ggT(a_1,...a_n), [/mm] falls [mm] c|a_i [/mm] für alle i=1,...,n |
Es gilt [mm] c|a_i [/mm] für alle i=1,...,n
-> [mm] c|ggT(a_i)
[/mm]
-> Es gibt ein q für das gilt
[mm] q*c=ggT(a_i)
[/mm]
-> q= [mm] 1/c*ggT(a_i)
[/mm]
Soweit so gut.
Aber wie komme ich jetzt dahin, dass [mm] |q|=ggT(a_1/c,...a_n/c)
[/mm]
Würde mich sehr über eine Antwort freuen
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> [mm]ggT(a_1/c,...a_n/c)=1/|c|*ggT(a_1,...a_n),[/mm] falls [mm]c|a_i[/mm] für
> alle i=1,...,n
> Es gilt [mm]c|a_i[/mm] für alle i=1,...,n
>
> -> [mm]c|ggT(a_i)[/mm]
> -> Es gibt ein q für das gilt
> [mm]q*c=ggT(a_i)[/mm]
>
> -> q= [mm]1/c*ggT(a_i)[/mm]
>
> Soweit so gut.
> Aber wie komme ich jetzt dahin, dass
> [mm]|q|=ggT(a_1/c,...a_n/c)[/mm]
>
> Würde mich sehr über eine Antwort freuen
>
wenn q*c=ai gilt q*c|ai (und q*c ist der ggt von ai)
da auch gilt q=1/c*ai gilt q|1/c*ai (und q ist der ggt von ai)
-> q=ggt(1/c*ai)
da g positiv ist, folgt aus q= [mm]1/c*ggT(a_i)[/mm], q= [mm]1/|c|*ggT(a_i)[/mm]
kann man das so sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > [mm]ggT(a_1/c,...a_n/c)=1/|c|*ggT(a_1,...a_n),[/mm] falls [mm]c|a_i[/mm] für
> > alle i=1,...,n
> > Es gilt [mm]c|a_i[/mm] für alle i=1,...,n
> >
> > -> [mm]c|ggT(a_i)[/mm]
> > -> Es gibt ein q für das gilt
> > [mm]q*c=ggT(a_i)[/mm]
> >
> > -> q= [mm]1/c*ggT(a_i)[/mm]
> >
> > Soweit so gut.
> > Aber wie komme ich jetzt dahin, dass
> > [mm]|q|=ggT(a_1/c,...a_n/c)[/mm]
> >
> > Würde mich sehr über eine Antwort freuen
>
> wenn q*c=ai gilt q*c|ai (und q*c ist der ggt von ai)
das muss aber nicht sein. Es ist auch nur ganz selten der Fall, insofern bringt es nichts damit anzufangen.
LG Felix
> da auch gilt q=1/c*ai gilt q|1/c*ai (und q ist der ggt von
> ai)
>
> -> q=ggt(1/c*ai)
>
> da g positiv ist, folgt aus q= [mm]1/c*ggT(a_i)[/mm], q=
> [mm]1/|c|*ggT(a_i)[/mm]
>
> kann man das so sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> [mm]ggT(a_1/c,...a_n/c)=1/|c|*ggT(a_1,...a_n),[/mm] falls [mm]c|a_i[/mm] für
> alle i=1,...,n
>
> Es gilt [mm]c|a_i[/mm] für alle i=1,...,n
Womit du [mm] $a_i [/mm] = c [mm] b_i$ [/mm] schreiben kannst mit Elementen [mm] $b_1, \dots, b_n$.
[/mm]
Du musst jetzt $|c| [mm] ggT(b_1, \dots, b_n) [/mm] = ggT(c [mm] b_1, \dots, [/mm] c [mm] b_n)$ [/mm] zeigen.
Wie das geht, kannst du z.B. hier nachlesen 
LG Felix
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